Soit ( u n ) la suite définie par : u n + 1 = 1 − u n + 5 9 et u 0 = 1 Montrer que pour tout n ∈ N : u n > − 2 . Étudier la monotonie de la suite ( u n ) . On pose v n = u n + 2 1 . Montrer que ( v n ) est une suite arithmétique. Calculer v n , puis u n , en fonction de n .

Suite homographique et suite arithmétique auxiliaire

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite définie par :

$u_{n + 1} = 1 - \frac{9}{u _{n} + 5} et u_{0} = 1$

Montrer que pour tout $n \in N$ : $u_{n} > - 2$ .
Étudier la monotonie de la suite $(u_{n})$ .
On pose $v_{n} = \frac{1}{u _{n} + 2}$ .
1. Montrer que $(v_{n})$ est une suite arithmétique.
2. Calculer $v_{n}$ , puis $u_{n}$ , en fonction de $n$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $u_n > -2$, utilise un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord que $u_0 > -2$, puis suppose $u_n > -2$ et montre que cela entraîne $u_{n+1} > -2$ en manipulant la relation de récurrence.

2 Indice 2

Pour la suite auxiliaire $v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}$, commence par exprimer $u_{n+1} + 2$ en fonction de $u_n$ à partir de la relation de récurrence, puis calcule $v_{n+1}$ pour trouver un lien avec $v_n$.

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Pour montrer que $u_{n} > - 2$ , utilise un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord que $u_{0} > - 2$ , puis suppose $u_{n} > - 2$ et montre que cela entraîne $u_{n + 1} > - 2$ en manipulant la relation de récurrence.

Pour la suite auxiliaire $v_{n} = \frac{1}{u _{n} + 2}$ , commence par exprimer $u_{n + 1} + 2$ en fonction de $u_{n}$ à partir de la relation de récurrence, puis calcule $v_{n + 1}$ pour trouver un lien avec $v_{n}$ .

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