Suite homographique et suite géométrique auxiliaire

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{8(u_n-1)}{u_n+2}$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $2<u_n<4$.

2. Étudier la monotonie de $(u_n)$.

3. On pose $v_n=\frac{u_n-4}{u_n-2}$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique, puis exprimer $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$.

4. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $4-u_{n+1}\le \frac{4}{5}(4-u_n)$, puis en déduire que $4-u_n\le {\left(\frac{4}{5}\right)}^n$.