Soit ( u n ) la suite définie par u 0 = 1 et, pour tout n ∈ N , u n + 1 = 21 + u n 3 u n . Montrer que pour tout n ∈ N : u n > 0 . Montrer que pour tout n ∈ N : u n + 1 ≤ 7 1 u n . En déduire la monotonie de ( u n ) . Montrer que pour tout n ∈ N : 0 < u n ≤ ( 7 1 ) n .

Majoration géométrique d'une suite positive

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = \frac{3 u _{n}}{21 + u _{n}}$ .

Montrer que pour tout $n \in N$ : $u_{n} > 0$ .
Montrer que pour tout $n \in N$ : $u_{n + 1} \leq \frac{1}{7} u_{n}$ .
En déduire la monotonie de $(u_{n})$ .
Montrer que pour tout $n \in N$ : $0 < u_{n} \leq (\frac{1}{7})^{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $u_n > 0$ pour tout $n$, pense à utiliser un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord pour $n=0$, puis montre que si $u_n > 0$, alors le numérateur et le dénominateur de $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{21 + u_n}$ sont tous deux strictement positifs.

2 Indice 2

Pour comparer $u_{n+1}$ et $\dfrac{1}{7}u_n$, calcule leur différence $\dfrac{1}{7}u_n - u_{n+1}$ en mettant au même dénominateur. Tu devrais obtenir une expression de la forme $\dfrac{u_n^2}{7(21+u_n)}$ dont tu pourras déterminer le signe.

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Pour montrer que $u_{n} > 0$ pour tout $n$ , pense à utiliser un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord pour $n = 0$ , puis montre que si $u_{n} > 0$ , alors le numérateur et le dénominateur de $u_{n + 1} = \frac{3 u _{n}}{21 + u _{n}}$ sont tous deux strictement positifs.

Pour comparer $u_{n + 1}$ et $\frac{1}{7} u_{n}$ , calcule leur différence $\frac{1}{7} u_{n} - u_{n + 1}$ en mettant au même dénominateur. Tu devrais obtenir une expression de la forme $\frac{u _{n}^{2}}{7 ( 21 + u _{n} )}$ dont tu pourras déterminer le signe.

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