Soit ( u n ) la suite définie par u 0 = 2 et, pour tout n ∈ N , u n + 1 = 3 1 u n + 2 . Montrer que la suite ( u n ) est majorée par 3 . Étudier la monotonie de ( u n ) et en déduire que pour tout n ∈ N , u n ≥ 2 . On pose v n = u n − 3 . Montrer que ( v n ) est géométrique, exprimer v n puis u n en fonction de n . Calculer S n = v 0 + v 1 + ⋯ + v n puis T n = u 0 + u 1 + ⋯ + u n en fonction de n .

Suite récurrente affine ramenée à une suite géométrique

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 2$ .

Montrer que la suite $(u_{n})$ est majorée par $3$ .
Étudier la monotonie de $(u_{n})$ et en déduire que pour tout $n \in N$ , $u_{n} \geq 2$ .
On pose $v_{n} = u_{n} - 3$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique, exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Calculer $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ puis $T_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ en fonction de $n$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $u_n \leq 3$, utilise un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord que $u_0 \leq 3$, puis suppose que $u_n \leq 3$ et montre que cela implique $u_{n+1} \leq 3$ en utilisant la relation de récurrence.

2 Indice 2

Pour étudier la monotonie, calcule $u_{n+1} - u_n$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression. Factorise pour faire apparaître $(3 - u_n)$, et utilise le fait que $u_n \leq 3$ pour déterminer le signe.

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Pour montrer que $u_{n} \leq 3$ , utilise un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord que $u_{0} \leq 3$ , puis suppose que $u_{n} \leq 3$ et montre que cela implique $u_{n + 1} \leq 3$ en utilisant la relation de récurrence.

Pour étudier la monotonie, calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression. Factorise pour faire apparaître $(3 - u_{n})$ , et utilise le fait que $u_{n} \leq 3$ pour déterminer le signe.

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