Soit ( U n ) la suite définie par : U 0 = 1 , U 1 = 2 , et U n + 2 = 3 5 U n + 1 − 3 2 U n On pose V n = U n + 1 − U n . Montrer que ( V n ) est une suite géométrique. On pose S n = V 0 + V 1 + ⋯ + V n − 1 (pour n ≥ 1 ). Calculer S n en fonction de n . Calculer U n en fonction de n .

Suite récurrente d'ordre 2 ramenée à une suite géométrique

Difficile

Énoncé

Soit $(U_{n})$ la suite définie par :

$U_{0} = 1, U_{1} = 2, et U_{n + 2} = \frac{5}{3} U_{n + 1} - \frac{2}{3} U_{n}$

On pose $V_{n} = U_{n + 1} - U_{n}$ .

Montrer que $(V_{n})$ est une suite géométrique.
On pose $S_{n} = V_{0} + V_{1} + \dots + V_{n - 1}$ (pour $n \geq 1$ ). Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$ .
Calculer $U_{n}$ en fonction de $n$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, exprime $V_{n+1}=U_{n+2}-U_{n+1}$ en remplacant $U_{n+2}$ par la relation de recurrence donnee, puis factorise pour retrouver un multiple de $V_n$.

2 Indice 2

Pour la question 2, reconnais que $S_n$ est la somme des $n$ premiers termes d'une suite geometrique de raison $q=2/3$ et de premier terme $V_0$ : applique la formule usuelle.

3 Indice 3

Pour la question 3, remarque que $S_n$ est une somme telescopique egale a $U_n-U_0$, ce qui te permet d'exprimer $U_n$.

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Pour la question 1, exprime $V_{n + 1} = U_{n + 2} - U_{n + 1}$ en remplacant $U_{n + 2}$ par la relation de recurrence donnee, puis factorise pour retrouver un multiple de $V_{n}$ .

Pour la question 2, reconnais que $S_{n}$ est la somme des $n$ premiers termes d'une suite geometrique de raison $q = 2/3$ et de premier terme $V_{0}$ : applique la formule usuelle.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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