Suite homographique, suite géométrique auxiliaire et vitesse de convergence

Soit $(u_n)$ la suite définie par :

$u_0=3\text{et}{u}_{n+1}=\frac{8(u_n-1)}{u_n+2}$

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $2<u_n<4$.
2. Étudier la monotonie de $(u_n)$.
3. On pose $v_n=\frac{u_n-4}{u_n-2}$.
   1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique.
   2. Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
4. 1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $4-u_{n+1}\le \frac{4}{5}(4-u_n)$.
   2. En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $4-u_n\le {\left(\frac{4}{5}\right)}^n$.