On considère la suite ( u n ) définie par u 0 = 2 1 + 3 et, pour tout n ∈ N , u n + 1 = ( 1 + 3 ) − u n 3 . Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N : 1 < u n ≤ 3 . Vérifier que u n 2 − ( 1 + 3 ) u n + 3 = ( u n − 1 ) ( u n − 3 ) , et en déduire la monotonie de ( u n ) . Vérifier que u n + 1 − 1 u n + 1 − 3 = 3 1 ⋅ u n − 1 u n − 3 . On pose v n = u n − 1 u n − 3 ; exprimer v n puis u n en fonction de n .

Suite avec second membre racine et convergence vers racine de 3

Difficile

Énoncé

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = \frac{1 + 3}{2}$ et, pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = (1 + 3) - \frac{3}{u _{n}}$ .

Montrer par récurrence que pour tout $n \in N$ : $1 < u_{n} \leq 3$ . Vérifier que $u_{n}^{2} - (1 + 3) u_{n} + 3 = (u_{n} - 1) (u_{n} - 3)$ , et en déduire la monotonie de $(u_{n})$ .
Vérifier que $\frac{u _{n + 1} - 3}{u _{n + 1} - 1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{u _{n} - 3}{u _{n} - 1}$ . On pose $v_{n} = \frac{u _{n} - 3}{u _{n} - 1}$ ; exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour l'hérédité, développe $(u_n-1)(u_n-\\sqrt{3})$ et compare-le à $u_{n+1}-1$ et $u_{n+1}-\\sqrt{3}$ exprimés à partir de la relation de récurrence.

2 Indice 2

Pour la monotonie, calcule $u_{n+1}-u_n$ en réduisant au même dénominateur et fais apparaître le produit $-(u_n-1)(u_n-\\sqrt{3})$.

3 Indice 3

Pour la question 2, calcule le quotient $\\dfrac{u_{n+1}-\\sqrt{3}}{u_{n+1}-1}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression, puis reconnais une suite géométrique en $v_n$.

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Pour l'hérédité, développe $(u_{n} - 1) (u_{n} - s q r t 3)$ et compare-le à $u_{n + 1} - 1$ et $u_{n + 1} - s q r t 3$ exprimés à partir de la relation de récurrence.

Pour la monotonie, calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ en réduisant au même dénominateur et fais apparaître le produit $- (u_{n} - 1) (u_{n} - s q r t 3)$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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