Soit ( u n ) définie par u 0 = 3 et u n + 1 = 2 u n + 4 pour tout n ∈ N . Calculer u 1 , u 2 et u 3 . Conjecturer le sens de variation et la limite de ( u n ) . Montrer par récurrence que u n ≤ 4 pour tout n ≥ 0 . Montrer que ( u n ) est croissante, puis conclure sur la convergence.

Suite u(n+1)=(u(n)+4)/2 : monotonie et convergence

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 4}{2}$ pour tout $n \in N$ .

Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
Conjecturer le sens de variation et la limite de $(u_{n})$ .
Montrer par récurrence que $u_{n} \leq 4$ pour tout $n \geq 0$ .
Montrer que $(u_{n})$ est croissante, puis conclure sur la convergence.

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, applique la formule de récurrence $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{2}$ en partant de $u_0 = 3$. Observe comment évoluent les valeurs obtenues.

2 Indice 2

Pour la récurrence $u_n \leq 4$, suppose que $u_n \leq 4$ est vrai, puis ajoute $4$ aux deux membres et divise par $2$ pour obtenir une inégalité sur $u_{n+1}$.

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Pour calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ , applique la formule de récurrence $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 4}{2}$ en partant de $u_{0} = 3$ . Observe comment évoluent les valeurs obtenues.

Pour la récurrence $u_{n} \leq 4$ , suppose que $u_{n} \leq 4$ est vrai, puis ajoute $4$ aux deux membres et divise par $2$ pour obtenir une inégalité sur $u_{n + 1}$ .

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