Soit ( u n ) définie par u 0 = 1 et u n + 1 = 3 1 u n + 4 . Calculer u 1 et u 2 . Déterminer le réel ℓ tel que ℓ = 3 1 ℓ + 4 . On pose v n = u n − ℓ . Montrer que ( v n ) est géométrique et préciser sa raison et v 0 . En déduire v n puis u n en fonction de n . Déterminer la limite de ( u n ) .

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Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 4$ .

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
Déterminer le réel $ℓ$ tel que $ℓ = \frac{1}{3} ℓ + 4$ .
On pose $v_{n} = u_{n} - ℓ$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique et préciser sa raison et $v_{0}$ .
En déduire $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de $(u_{n})$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer $u_1$ et $u_2$, applique directement la relation de récurrence : remplace $u_0 = 1$ dans la formule $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 4$ pour trouver $u_1$, puis recommence avec $u_1$ pour obtenir $u_2$.

2 Indice 2

Pour le point fixe $\ell$, tu cherches la valeur qui ne change pas par la récurrence. Résous l'équation $\ell = \dfrac{1}{3}\ell + 4$ en isolant $\ell$ : regroupe les termes en $\ell$ d'un côté.

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Pour calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ , applique directement la relation de récurrence : remplace $u_{0} = 1$ dans la formule $u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 4$ pour trouver $u_{1}$ , puis recommence avec $u_{1}$ pour obtenir $u_{2}$ .

Pour le point fixe $ℓ$ , tu cherches la valeur qui ne change pas par la récurrence. Résous l'équation $ℓ = \frac{1}{3} ℓ + 4$ en isolant $ℓ$ : regroupe les termes en $ℓ$ d'un côté.

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