Monotonie et encadrement d'une suite récurrente

Exercice 3 — Suite récurrente, monotonie et encadrement. On considère la suite $(w_n)$ définie par $w_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}=\frac{w_n+3}{2}$. 1) Calculer $w_1$, $w_2$ et $w_3$. 2) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $w_n<3$. 3) Étudier la monotonie de la suite $(w_n)$ en examinant le signe de $w_{n+1}-w_n$. 4) La suite $(w_n)$ est-elle convergente ? Justifier intuitivement en précisant vers quelle valeur elle semble tendre.