Suite définie par récurrence : démonstration et expression explicite

Exercice 5 — Suite récurrente et changement de suite

On considère la suite ($a_n$) définie par : $a_0=2$ et, pour tout entier naturel n :

$a_{n+1}=3a_n-4$.

1. Calculer $a_1$, $a_2$ et $a_3$.
2. On pose $b_n=a_n-2$ pour tout entier naturel n.
   a) Montrer que ($b_n$) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   b) Exprimer $b_n$ puis $a_n$ en fonction de n.
3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, $a_n=2$ (c'est-à-dire que la suite est constante). Indication : vérifier d'abord la formule obtenue en 2.b).
4. Étudier la monotonie de la suite ($a_n$).