Suites arithmétique et géométrique imbriquées — problème complet

Exercice 6

On considère deux suites ($a_n$) et ($g_n$) définies pour tout $n\in \mathbb{N}$ par :

• $a_n=2n+1$
• $g_n=3\times 2^n$

On définit la suite ($s_n$) par : $s_n=a_n+g_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Partie A — Étude de ($a_n$) et ($g_n$)
   a) Montrer que ($a_n$) est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
   b) Montrer que ($g_n$) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
   c) Calculer $S_A=a_0+a_1+...+a_n$ en fonction de n.
   d) Calculer $S_G=g_0+g_1+...+g_n$ en fonction de n.
2. Partie B — Étude de ($s_n$)
   a) Calculer $s_0$, $s_1$ et $s_2$.
   b) Montrer que ($s_n$) n'est ni arithmétique, ni géométrique.
   c) Calculer $S=s_0+s_1+...+s_n$ en fonction de n.
3. Partie C — Étude du signe
   On pose $t_n=g_n-a_n=3\times 2^n-2n-1$.
   a) Calculer $t_0$ et $t_1$.
   b) Montrer que $t_{n+1}-2t_n=2n-1$.
   c) En déduire que pour tout $n\ge 1$, $t_n>0$, c'est-à-dire $g_n>a_n$.