Situation-problème : épargne et suite géométrique

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 4 — Épargne bancaire à Casablanca

Un particulier dépose 5 000 dirhams dans un compte d'épargne auprès d'une banque à Casablanca. Ce compte est rémunéré à un taux annuel de 4 %. À la fin de chaque année, les intérêts sont automatiquement ajoutés au capital.

On note le capital (en dirhams) disponible sur le compte à la fin de la n-ième année, avec .

  1. Exprimer en fonction de . En déduire la nature de la suite .
  2. Exprimer en fonction de n.
  3. Calculer le capital disponible à la fin de la 10ème année. On donnera la valeur arrondie au dirham près. (On rappelle que .)
  4. Au bout de combien d'années le capital aura-t-il au moins doublé ? (On rappelle que et .)

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pense à la relation entre le capital d'une année et celui de l'année suivante : si le taux est de 4%, le nouveau capital vaut 104% de l'ancien, soit $C_{n+1} = 1,04 \times C_n$. Quelle est la nature d'une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre constant ?
2 Indice 2
Pour exprimer $C_n$ en fonction de $n$, utilise la formule d'une suite géométrique : $C_n = C_0 \times q^n$ où $q = 1,04$ est la raison. Pour le doublement, résous l'inégalité $5\,000 \times 1,04^n \geq 10\,000$, simplifie puis applique le logarithme des deux côtés.

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La méthode — par où commencer

Pense à la relation entre le capital d'une année et celui de l'année suivante : si le taux est de 4%, le nouveau capital vaut 104% de l'ancien, soit . Quelle est la nature d'une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre constant ?

Pour exprimer en fonction de , utilise la formule d'une suite géométrique : où est la raison. Pour le doublement, résous l'inégalité , simplifie puis applique le logarithme des deux côtés.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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