Soit ( u n ) la suite définie par : u n + 1 = 3 1 u n + 2 et u 0 = 2 Montrer que la suite ( u n ) est majorée par 3 . Étudier la monotonie de ( u n ) , puis en déduire que pour tout n ∈ N : u n ≥ 2 . On pose v n = u n − 3 . Montrer que ( v n ) est géométrique. Exprimer v n en fonction de n . En déduire u n en fonction de n . Calculer S n = v 0 + v 1 + ⋯ + v n en fonction de n . Calculer T n = u 0 + u 1 + ⋯ + u n en fonction de n .

Suite récurrente affine : suite géométrique auxiliaire et sommes

Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ la suite définie par :

$u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 2 et u_{0} = 2$

Montrer que la suite $(u_{n})$ est majorée par $3$ .
Étudier la monotonie de $(u_{n})$ , puis en déduire que pour tout $n \in N$ : $u_{n} \geq 2$ .
On pose $v_{n} = u_{n} - 3$ .
1. Montrer que $(v_{n})$ est géométrique.
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
3. En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Calculer $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ en fonction de $n$ .
Calculer $T_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ en fonction de $n$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour montrer que $u_n \le 3$, utilise un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord pour $n=0$, puis suppose que $u_n \le 3$ et montre que cela implique $u_{n+1} \le 3$ en utilisant la relation de récurrence.

2 Indice 2

Pour étudier la monotonie, calcule $u_{n+1} - u_n$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression. Factorise pour faire apparaître $(3 - u_n)$, puis utilise le fait que $u_n \le 3$ pour conclure sur le signe.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour montrer que $u_{n} \leq 3$ , utilise un raisonnement par récurrence : vérifie d'abord pour $n = 0$ , puis suppose que $u_{n} \leq 3$ et montre que cela implique $u_{n + 1} \leq 3$ en utilisant la relation de récurrence.

Pour étudier la monotonie, calcule $u_{n + 1} - u_{n}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression. Factorise pour faire apparaître $(3 - u_{n})$ , puis utilise le fait que $u_{n} \leq 3$ pour conclure sur le signe.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Suite arithmétique : raison, terme général et somme Tous les exercices du chapitre Suite homographique et suite arithmétique auxiliaire

Suite récurrente affine : suite géométrique auxiliaire et sommes

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Suite récurrente affine : suite géométrique auxiliaire et sommes

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯