Inverse arithmétique et somme

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=\frac{1}{2}$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{u_n}{2-u_n}$.

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $0<u_n\le 1$.

2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

3. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $\frac{1}{u_{n+1}}-1=2\left(\frac{1}{u_n}-1\right)$.

4. En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n=\frac{1}{2^n+1}$.

5. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $S_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{u_k}$. Calculer $S_n$ en fonction de $n$.