نص التمرين لیكن p عددًا أوليًا بحيث p ≥ 7 . a) تحقق من أن 2 p − 1 عدد صحيح وأن 2 < 2 p − 1 < p − 1 . b) استنتج أن ( p − 1 ) 2 يقسم ( p − 1 )! . نفترض أنه يوجد n ∈ N ∗ بحيث ( p − 1 )! = p n − 1 ، ونضع S = k = 0 ∑ n − 1 p k . a) بيّن أن S ≡ n [ p − 1 ] . b) بيّن أن ( p − 1 ) ∣ S ، واستنتج أن ( p − 1 ) ∣ n . c) استنتج أن n ≥ p − 1 ، ثم توصل إلى تناقض. حدد جميع الأعداد الأولية p التي يوجد من أجلها n ∈ N ∗ بحيث ( p − 1 )! = p n − 1 .

Factorielle, p^n − 1 et nombres premiers

Difficile

لیكن $p$ عددًا أوليًا بحيث $p \geq 7$ .

a) تحقق من أن $\frac{p - 1}{2}$ عدد صحيح وأن $2 < \frac{p - 1}{2} < p - 1$ .
b) استنتج أن $(p - 1)^{2}$ يقسم $(p - 1)!$ .
نفترض أنه يوجد $n \in N^{*}$ بحيث $(p - 1)! = p^{n} - 1$ ، ونضع $S = k = 0 \sum n - 1 p^{k}$ .
a) بيّن أن $S \equiv n [p - 1]$ .
b) بيّن أن $(p - 1) ∣ S$ ، واستنتج أن $(p - 1) ∣ n$ .
c) استنتج أن $n \geq p - 1$ ، ثم توصل إلى تناقض.
حدد جميع الأعداد الأولية $p$ التي يوجد من أجلها $n \in N^{*}$ بحيث $(p - 1)! = p^{n} - 1$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة لـ 1، استعمل ان $p$ اولي فردي لتبرير ان $\\frac{p-1}{2}$ عدد صحيح، ثم قارنه بـ 2 وبـ $p-1$.

2 الإرشاد 2

بالنسبة لـ 1.b)، لاحظ ان $2$ و $\\frac{p-1}{2}$ و $p-1$ عوامل ثلاثة متمايزة في $(p-1)!$ جداؤها يساوي $(p-1)^2$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة لـ 2، استعمل ان $p\\equiv 1\\ [p-1]$ لاختزال $S$ بترديد $p-1$، ثم اجمع مع $(p-1)^2\\mid (p-1)!=(p-1)S$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة لـ 1، استعمل ان $p$ اولي فردي لتبرير ان $f r a c p - 1 2$ عدد صحيح، ثم قارنه بـ 2 وبـ $p - 1$ .

بالنسبة لـ 1.b)، لاحظ ان $2$ و $f r a c p - 1 2$ و $p - 1$ عوامل ثلاثة متمايزة في $(p - 1)!$ جداؤها يساوي $(p - 1)^{2}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points