Diviseurs premiers de $a^4+b^4$ et équation $x^4+y^4=1297\times 19^4$

Partie I

Soient $a$ et $b$ deux entiers de ${\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que $a\wedge b=1$, et soit $p$ un diviseur premier de $a^4+b^4$ avec $p\ge 3$.

1. a) Montrer que $a\wedge p=1$.

   b) En déduire qu'il existe $m\in \mathbb{Z}$ tel que $am\equiv 1[p]$ (on utilisera l'identité de Bézout).

2. a) Montrer qu'il existe $x\in \mathbb{Z}$ tel que $x^4\equiv -1[p]$ (remarquer que $b^4\equiv -a^4[p]$).

   b) Montrer que $x\wedge p=1$ et en déduire que $x^{p-1}\equiv 1[p]$.

3. On pose $p=2k+1$ avec $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

   a) Montrer que $(-1{)}^k\equiv 1[p]$, puis en déduire que $p=4n+1$ avec $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Partie II

On considère dans ${\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$ l'équation $(E):x^4+y^4=1297\times 19^4$. On pose $d=x\wedge y$, $x=da$ et $y=db$.

1. Vérifier que $1297$ est premier et montrer que $d=19$.

2. Déterminer les couples $(a,b)$ de ${\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que $a^4+b^4=1297$ et $a\wedge b=1$ (on donne $\sqrt[4]{1296}=6$).

3. En déduire les solutions de $(E)$.