Sommes de deux carrés et nombres premiers $\equiv 3\ [4]$

Partie 1

Soit $p$ un nombre premier tel que $p=4k+3$ avec $k\in \mathbb{N}$, et soit $x\in \mathbb{Z}$ tel que $x^2+1\equiv 0[p]$.

1. a) Vérifier que $x^{4k+2}\equiv -1[p]$.

   b) Montrer que $p\wedge x=1$, puis en déduire que $x^{4k+2}\equiv 1[p]$.

   c) En déduire que l'équation $x^2+1\equiv 0[p]$ n'admet aucune solution dans $\mathbb{Z}$.

Partie 2

Soit $p$ premier avec $p=4k+3$ et $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$ tels que $a^2+b^2\equiv 0[p]$.

1. a) On suppose que $p$ ne divise pas $a$. Montrer que $b^{4k+2}+1\equiv 0[p]$.

   b) En déduire que $a^2+b^2\equiv 0[p]⟺(a\equiv 0[p]\text{ et }b\equiv 0[p])$.

2. Soit $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$ tel que $a\wedge b=1$ et soit $p$ un diviseur premier de $a^2+b^2$ avec $p\ge 3$. Montrer que $p\equiv 1[4]$.