Petit théorème de Fermat et équation $x^{143}\equiv 3\ [101]$

Résolution d'une congruence d'exposant élevé

On admettra que $143\times 7=1+100\times 10$.

1. Montrer que $101$ est premier.
2. Soit $x$ une solution dans $\mathbb{N}$ de $(F):x^{143}\equiv 3[101]$. Montrer que $x\wedge 101=1$, puis que $x^{100}\equiv 1[101]$ et enfin que $x\equiv 3^7[101]$.
3. Réciproquement, montrer que tout entier $x$ vérifiant $x\equiv 3^7[101]$ est solution de $(F)$, et conclure que l'ensemble des solutions est $\{66+101k;k\in \mathbb{N}\}$.