Suite 2ⁿ+3ⁿ+6ⁿ−1 et Fermat

Étude de $a_n=2^n+3^n+6^n-1$

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $a_n=2^n+3^n+6^n-1$.

1. Vérifier que $a_n$ est pair pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, puis déterminer les valeurs de $n$ telles que $a_n\equiv 0[3]$.
2. Soit $p$ un nombre premier tel que $p>3$.
   1. Montrer que $2^{p-1}\equiv 1[p]$, $3^{p-1}\equiv 1[p]$ et $6^{p-1}\equiv 1[p]$.
   2. Montrer que $p$ divise $a_{p-2}$.