Puissances modulo 5 et modulo 10 Soit n ∈ N ∗ premier avec 5 . Montrer que pour tout k ∈ N , n 4 k ≡ 1 [ 5 ] . Soient x , y ∈ N ∗ tels que x ≡ y [ 4 ] . Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , n x ≡ n y [ 5 ] . En déduire que n x et n y ont toujours le même chiffre des unités en écriture décimale.

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Puissances modulo 5 et modulo 10

Soit $n \in N^{*}$ premier avec $5$ . Montrer que pour tout $k \in N$ , $n^{4 k} \equiv 1 [5]$ .
Soient $x, y \in N^{*}$ tels que $x \equiv y [4]$ . Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ , $n^{x} \equiv n^{y} [5]$ .
En déduire que $n^{x}$ et $n^{y}$ ont toujours le même chiffre des unités en écriture décimale.

Indices

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1 Indice 1

Pour la première question, pense au petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et $n \wedge p = 1$, alors $n^{p-1} \equiv 1\ [p]$. Ici $p=5$, donc que vaut $n^4$ modulo $5$ ?

2 Indice 2

Pour montrer que $n^x \equiv n^y\ [5]$, écris $x = y + 4k$ puisque $x \equiv y\ [4]$. Ensuite factorise : $n^x = n^y \cdot n^{4k}$, et applique le résultat de la question 1.

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Pour la première question, pense au petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et $n \land p = 1$ , alors $n^{p - 1} \equiv 1 [p]$ . Ici $p = 5$ , donc que vaut $n^{4}$ modulo $5$ ?

Pour montrer que $n^{x} \equiv n^{y} [5]$ , écris $x = y + 4 k$ puisque $x \equiv y [4]$ . Ensuite factorise : $n^{x} = n^{y} \cdot n^{4 k}$ , et applique le résultat de la question 1.

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