Ordre multiplicatif et équation $a^{2023}\equiv 27\ [65]$

Étude d'une congruence modulo $65=5\times 13$

On admet que $27\times 53\equiv 1[65]$ (l'inverse de $27$ modulo $65$ est $53$). Soit $a$ une solution dans $\mathbb{N}$ de $(F):a^{2023}\equiv 27[65]$.

1. Montrer que $a\wedge 5=1$ et $a\wedge 13=1$, puis en déduire que $a^{12}\equiv 1[65]$.
2. Soit $d$ le plus petit entier naturel non nul tel que $a^d\equiv 1[65]$. Montrer que $d\mid 12$ et que $d=4$, puis déterminer le reste de $a^2$ modulo $65$.
3. En déduire que $a$ est solution de $(F)$ si et seulement si $a\equiv 53[65]$.