Le nombre 111…1 (2010 chiffres) et ses diviseurs

Intermédiaire
Partager

Énoncé

Divisibilité de

Soit l'entier dont l'écriture décimale est .

  1. Montrer que est divisible par .
    1. Vérifier que est premier et que .
    2. Montrer que divise , puis en déduire que divise .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour montrer que $11$ divise $N$, essaie de regrouper les chiffres $1$ par paires consécutives dans la somme $N = 1 + 10 + 10^2 + 10^3 + \ldots + 10^{2009}$. Que remarques-tu dans chaque paire ?
2 Indice 2
Pour montrer que $2011$ divise $N$, utilise d'abord le petit théorème de Fermat avec $p=2011$ et $a=10$ pour trouver une relation avec $10^{2010}$. Ensuite, comme $2011$ divise $9N$ mais pas $9$, applique le théorème de Gauss.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour montrer que divise , essaie de regrouper les chiffres par paires consécutives dans la somme . Que remarques-tu dans chaque paire ?

Pour montrer que divise , utilise d'abord le petit théorème de Fermat avec et pour trouver une relation avec . Ensuite, comme divise mais pas , applique le théorème de Gauss.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Répunits de chiffre 3 terminés par 1 et divisibilité par 31 Tous les exercices du chapitre Le nombre 444…4 et multiple formé du chiffre 4