Les nombres a n = n 33 … 3 1 Pour tout n ∈ N ∗ , on pose a n = n fois 33 … 3 1 (l'écriture décimale est n fois le chiffre 3 suivi du chiffre 1 ). Vérifier que a 1 et a 2 sont premiers. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : 3 a n + 7 = 1 0 n + 1 . Montrer que pour tout k ∈ N ∗ : 1 0 30 k + 2 ≡ 7 [ 31 ] , puis en déduire que 31 divise a 30 k + 1 .

Répunits de chiffre 3 terminés par 1 et divisibilité par 31

Intermédiaire

Énoncé

Les nombres $a_{n} = n 33 \dots 3 1$

Pour tout $n \in N^{*}$ , on pose $a_{n} = n fois 33 \dots 3 1$ (l'écriture décimale est $n$ fois le chiffre $3$ suivi du chiffre $1$ ).

Vérifier que $a_{1}$ et $a_{2}$ sont premiers.
Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $3 a_{n} + 7 = 1 0^{n + 1}$ .
Montrer que pour tout $k \in N^{*}$ : $1 0^{30 k + 2} \equiv 7 [31]$ , puis en déduire que $31$ divise $a_{30 k + 1}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la première question, rappelle-toi qu'un nombre est premier s'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à sa racine carrée. Teste $a_1=31$ et $a_2=331$ avec les premiers $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$.

2 Indice 2

Pour montrer $3a_n+7=10^{n+1}$, écris d'abord $a_n$ sous forme de somme : $a_n = 3 \times \underbrace{11\ldots1}_{n} \times 10 + 1$. Utilise la formule $\underbrace{11\ldots1}_{n} = \dfrac{10^n-1}{9}$ puis développe.

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Pour la première question, rappelle-toi qu'un nombre est premier s'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à sa racine carrée. Teste $a_{1} = 31$ et $a_{2} = 331$ avec les premiers $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ .

Pour montrer $3 a_{n} + 7 = 1 0^{n + 1}$ , écris d'abord $a_{n}$ sous forme de somme : $a_{n} = 3 \times n 11 \dots 1 \times 10 + 1$ . Utilise la formule $n 11 \dots 1 = \frac{1 0 ^{n} - 1}{9}$ puis développe.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Les nombres $a_{n} = n 33 \dots 3 1$

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