Le nombre 444…4 et multiple formé du chiffre 4

Les nombres $u_n=\underset{n}{\underbrace{44\dots 4}}$

Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, soit $u_n$ l'entier dont l'écriture décimale est $n$ fois le chiffre $4$.

1. Vérifier que $9u_n=4\left(10^n-1\right)$.
2. Montrer que $u_n\equiv 0[2012]⟺10^n\equiv 1[503]$.
3. Montrer qu'il existe $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $10^k\equiv 1[503]$, et en déduire que $2012$ admet un multiple dont l'écriture décimale ne comporte que le chiffre $4$.