Équation $143x-195y=52$ et chiffre des unités de $n^x$

On considère dans ${\mathbb{Z}}^2$ l'équation $(E):143x-195y=52$.

a) Déterminer $143\wedge 195$, et en déduire que $(E)$ admet des solutions dans ${\mathbb{Z}}^2$.

b) Sachant que $(-1,-1)$ est une solution particulière de $(E)$, résoudre $(E)$ dans ${\mathbb{Z}}^2$.

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ premier avec $5$. Montrer que $\forall k\in \mathbb{N},n^{4k}\equiv 1[5]$.

Soient $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que $x\equiv y[4]$.

a) Montrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n^x\equiv n^y[5]$.

b) En déduire que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n^x\equiv n^y[10]$.

Soit $(x,y)$ une solution de $(E)$. Montrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, les nombres $n^x$ et $n^y$ ont le même chiffre des unités en écriture décimale.