Soit a ∈ N ∖ { 0 , 1 } . On pose X = 1 + a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 . Soit p un diviseur premier positif de X . a) Montrer que a 7 ≡ 1 [ p ] , puis en déduire que ∀ n ∈ N , a 7 n ≡ 1 [ p ] . b) Montrer que p ∧ a = 1 , puis en déduire que ∀ m ∈ N , a ( p − 1 ) m ≡ 1 [ p ] . On suppose que 7 ne divise pas p − 1 . a) Montrer qu'il existe ( m , n ) ∈ N 2 tel que ( p − 1 ) m − 7 n = 1 , puis en déduire que a ≡ 1 [ p ] . b) Montrer que p = 7 . En déduire que tout diviseur premier p de X vérifie p = 7 ou p ≡ 1 [ 7 ] .

Diviseurs premiers de $X=1+a+a^2+\dots+a^6$

Difficile

Soit $a \in N ∖ {0, 1}$ . On pose $X = 1 + a + a^{2} + a^{3} + a^{4} + a^{5} + a^{6}$ . Soit $p$ un diviseur premier positif de $X$ .

a) Montrer que $a^{7} \equiv 1 [p]$ , puis en déduire que $\forall n \in N, a^{7 n} \equiv 1 [p]$ .
b) Montrer que $p \land a = 1$ , puis en déduire que $\forall m \in N, a^{(p - 1) m} \equiv 1 [p]$ .
On suppose que $7$ ne divise pas $p - 1$ .
a) Montrer qu'il existe $(m, n) \in N^{2}$ tel que $(p - 1) m - 7 n = 1$ , puis en déduire que $a \equiv 1 [p]$ .
b) Montrer que $p = 7$ .
En déduire que tout diviseur premier $p$ de $X$ vérifie $p = 7$ ou $p \equiv 1 [7]$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Remarque l'identite $(a-1)X = a^7-1$ pour relier $X$ et $a^7-1$.

2 Indice 2

Utilise le petit theoreme de Fermat une fois que tu as montre que $p$ et $a$ sont premiers entre eux.

3 Indice 3

Combine les deux congruences sur $a$ (ordre divisant 7 et ordre divisant $p-1$) avec Bezout pour conclure sur $a$ modulo $p$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Remarque l'identite $(a - 1) X = a^{7} - 1$ pour relier $X$ et $a^{7} - 1$ .

Utilise le petit theoreme de Fermat une fois que tu as montre que $p$ et $a$ sont premiers entre eux.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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