Inverse de $27$ modulo $65$ et équation $a^{2023}\equiv 27\ [65]$

Partie I

On considère dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ l'équation $(E):27x-65y=1$.

1. Vérifier que $(-12,-5)$ est solution de $(E)$, puis résoudre $(E)$.

2. Déterminer l'entier $u$, inverse de $27$ modulo $65$, vérifiant $1\le u\le 64$.

Partie II

On considère dans $\mathbb{N}$ l'équation $(F):a^{2023}\equiv 27[65]$. Soit $a$ une solution de $(F)$ (on a $65=5\times 13$).

1. Montrer que $a\wedge 5=1$ et $a\wedge 13=1$, puis en déduire que $a^{12}\equiv 1[65]$.

2. Soit $d$ le plus petit entier naturel non nul tel que $a^d\equiv 1[65]$.

   a) Vérifier que $d$ divise $12$ et en déduire que $d=4$.

   b) Trouver le reste de $a^2$ modulo $65$.

3. Montrer que $a$ est solution de $(F)$ si et seulement si $a\equiv 53[65]$.