Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 . On considère dans N 2 l'équation ( E n ) : ( x + 1 ) n − x n = n y . Soit ( x , y ) une solution de ( E n ) et soit p le plus petit diviseur premier de n . a) Montrer que ( x + 1 ) n ≡ x n [ p ] . b) Montrer que p est premier avec x et avec x + 1 . c) En déduire que ( x + 1 ) p − 1 ≡ x p − 1 [ p ] . Montrer que si n est pair, alors ( E n ) n'admet pas de solution dans N 2 .

Étude de l'équation $(x+1)^n-x^n=ny$ dans $\mathbb{N}^2$

Difficile

Énoncé

Soit $n$ un entier naturel strictement supérieur à $1$ . On considère dans $N^{2}$ l'équation $(E_{n}) : (x + 1)^{n} - x^{n} = n y$ . Soit $(x, y)$ une solution de $(E_{n})$ et soit $p$ le plus petit diviseur premier de $n$ .

a) Montrer que $(x + 1)^{n} \equiv x^{n} [p]$ .
b) Montrer que $p$ est premier avec $x$ et avec $x + 1$ .
c) En déduire que $(x + 1)^{p - 1} \equiv x^{p - 1} [p]$ .
Montrer que si $n$ est pair, alors $(E_{n})$ n'admet pas de solution dans $N^{2}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour 1a), utilise directement l'egalite $(x+1)^n-x^n=ny$ et le fait que $p\\mid n$.

2 Indice 2

Pour 1b), raisonne par l'absurde : suppose que $p$ divise $x$ (ou $x+1$) et utilise la congruence de 1a).

3 Indice 3

Pour 1c), applique le petit theoreme de Fermat a $x$ et $x+1$, sachant qu'ils sont premiers avec $p$.

4 Indice 4

Pour 2), si $n$ est pair, quel est le plus petit diviseur premier possible de $n$ ? Utilise ensuite le resultat de 1c) avec $p=2$.

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Pour 1a), utilise directement l'egalite $(x + 1)^{n} - x^{n} = n y$ et le fait que $p mi d n$ .

Pour 1b), raisonne par l'absurde : suppose que $p$ divise $x$ (ou $x + 1$ ) et utilise la congruence de 1a).

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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