On considère, dans ( N ∗ ) 2 , l'équation : ( E ) : x 2 ( x 2 + 7 ) = y ( 2 x + y ) Soit ( x , y ) ∈ ( N ∗ ) 2 et δ = x ∧ y . On pose x = δ a et y = δ b , avec a ∧ b = 1 . On suppose que ( x , y ) est solution de ( E ) . Vérifier que a 2 ( δ 2 a 2 + 7 ) = b ( 2 a + b ) . En déduire qu'il existe k ∈ N tel que 2 a + b = k a 2 et δ 2 a 2 + 7 = k b . Montrer que a = 1 . En déduire que ( b + 1 ) 2 = δ 2 + 8 . Résoudre dans ( N ∗ ) 2 l'équation ( E ) .

Une équation diophantienne et le PGCD comme paramètre

Difficile

Énoncé

On considère, dans $(N^{*})^{2}$ , l'équation :

$(E) : x^{2} (x^{2} + 7) = y (2 x + y)$

Soit $(x, y) \in (N^{*})^{2}$ et $δ = x \land y$ . On pose $x = δ a$ et $y = δ b$ , avec $a \land b = 1$ .

On suppose que $(x, y)$ est solution de $(E)$ .
1. Vérifier que $a^{2} (δ^{2} a^{2} + 7) = b (2 a + b)$ .
2. En déduire qu'il existe $k \in N$ tel que $2 a + b = k a^{2}$ et $δ^{2} a^{2} + 7 = k b$ .
3. Montrer que $a = 1$ .
4. En déduire que $(b + 1)^{2} = δ^{2} + 8$ .
Résoudre dans $(N^{*})^{2}$ l'équation $(E)$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Remplace $x=\delta a$ et $y=\delta b$ dans $(E)$, puis simplifie par $\delta^2$ pour obtenir $a^2(\delta^2a^2+7)=b(2a+b)$.

2 Indice 2

Utilise le théorème de Gauss avec $a\wedge b = 1$ pour montrer que $a^2$ divise $2a+b$, puis introduis l'entier $k$ tel que $2a+b=ka^2$.

3 Indice 3

Une fois $a=1$ obtenu, l'égalité devient $(b+1)^2 = \delta^2+8$ ; factorise $(b+1-\delta)(b+1+\delta)=8$ et étudie les décompositions possibles de $8$ en produit de deux entiers positifs de même parité.

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Remplace $x = δ a$ et $y = δ b$ dans $(E)$ , puis simplifie par $δ^{2}$ pour obtenir $a^{2} (δ^{2} a^{2} + 7) = b (2 a + b)$ .

Utilise le théorème de Gauss avec $a \land b = 1$ pour montrer que $a^{2}$ divise $2 a + b$ , puis introduis l'entier $k$ tel que $2 a + b = k a^{2}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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