Équation diophantienne et PGCD On considère, dans ( N ∗ ) 2 , l'équation : ( E ) x 2 ( x 2 + 7 ) = y ( 2 x + y ) Soit ( x , y ) ∈ ( N ∗ ) 2 une solution et δ = x ∧ y . On pose x = δ a et y = δ b , avec a ∧ b = 1 . Vérifier que a 2 ( δ 2 a 2 + 7 ) = b ( 2 a + b ) . En déduire qu'il existe un entier naturel k tel que 2 a + b = k a 2 et δ 2 a 2 + 7 = k b . Montrer que a = 1 , puis que ( b + 1 ) 2 = δ 2 + 8 . Résoudre l'équation ( E ) dans ( N ∗ ) 2 .

Une équation diophantienne avec PGCD

Difficile

On considère, dans $(N^{*})^{2}$ , l'équation :

$(E) x^{2} (x^{2} + 7) = y (2 x + y)$

Soit $(x, y) \in (N^{*})^{2}$ une solution et $δ = x \land y$ . On pose $x = δ a$ et $y = δ b$ , avec $a \land b = 1$ .

Vérifier que $a^{2} (δ^{2} a^{2} + 7) = b (2 a + b)$ .
En déduire qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $2 a + b = k a^{2}$ et $δ^{2} a^{2} + 7 = k b$ .
Montrer que $a = 1$ , puis que $(b + 1)^{2} = δ^{2} + 8$ .
Résoudre l'équation $(E)$ dans $(N^{*})^{2}$ .

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1 Indice 1

Remplace $x$ par $\\delta a$ et $y$ par $\\delta b$ dans $(E)$, puis simplifie par $\\delta^2$ pour obtenir la relation demandée en 1.

2 Indice 2

Utilise le théorème de Gauss : si $a^2$ divise un produit et que $a^2\\wedge b=1$, alors $a^2$ divise l'autre facteur.

3 Indice 3

Pour montrer $a=1$, exprime $b$ en fonction de $a$ à partir de $2a+b=ka^2$ et utilise le fait que $a\\wedge b=1$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Remplace $x$ par $d e l t aa$ et $y$ par $d e l t ab$ dans $(E)$ , puis simplifie par $d e l t a^{2}$ pour obtenir la relation demandée en 1.

Utilise le théorème de Gauss : si $a^{2}$ divise un produit et que $a^{2} w e d g e b = 1$ , alors $a^{2}$ divise l'autre facteur.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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