Énoncé a) Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : n ∧ ( 2 n + 1 ) = 1 , puis que n 2 ∧ ( 2 n + 1 ) = 1 . b) Soient n , d ∈ N ∗ tels que d ∣ 2 n + 1 . En déduire que n 2 ∧ d = 1 . Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que 5 ∧ ( 2 n + 1 ) = 5 . Pour n ∈ N ∗ , on pose d = n 2 ( n 2 + 1 ) ∧ ( 2 n + 1 ) et d ′ = 5 ∧ ( 2 n + 1 ) . a) Montrer que n 2 ( n 2 + 1 ) ∧ ( 2 n + 1 ) = 5 ∧ ( 2 n + 1 ) . b) En déduire l'ensemble des n ∈ N ∗ tels que n 2 ( n 2 + 1 ) ∧ ( 2 n + 1 ) = 1 .

PGCD avec 2n+1 et caractérisation par congruence

Difficile

a) Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $n \land (2 n + 1) = 1$ , puis que $n^{2} \land (2 n + 1) = 1$ .
b) Soient $n, d \in N^{*}$ tels que $d ∣ 2 n + 1$ . En déduire que $n^{2} \land d = 1$ .
Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $5 \land (2 n + 1) = 5$ .
Pour $n \in N^{*}$ , on pose $d = n^{2} (n^{2} + 1) \land (2 n + 1)$ et $d^{'} = 5 \land (2 n + 1)$ .
a) Montrer que $n^{2} (n^{2} + 1) \land (2 n + 1) = 5 \land (2 n + 1)$ .
b) En déduire l'ensemble des $n \in N^{*}$ tels que $n^{2} (n^{2} + 1) \land (2 n + 1) = 1$ .

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1 Indice 1

Pour 1.a), écris une combinaison linéaire simple de $n$ et $2n+1$ qui donne 1, par exemple $(2n+1) - 2n$.

2 Indice 2

Pour 2), traduis $5 \\wedge (2n+1) = 5$ par la divisibilité $5 \\mid 2n+1$, puis résous la congruence modulo 5.

3 Indice 3

Pour 3.a), pose $m = 2n+1$ et exprime $16 n^2(n^2+1)$ en fonction de $4n^2 \\equiv 1 \\pmod m$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour 1.a), écris une combinaison linéaire simple de $n$ et $2 n + 1$ qui donne 1, par exemple $(2 n + 1) - 2 n$ .

Pour 2), traduis $5 w e d g e (2 n + 1) = 5$ par la divisibilité $5 mi d 2 n + 1$ , puis résous la congruence modulo 5.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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