Système de congruences, PGCD et puissances de 2 modulo 5

Énoncé

1. On considère dans ${\mathbb{Z}}^2$ l'équation $(E):4x-5y=1$.
   a) Vérifier que $(-1;-1)$ est solution.
   b) Résoudre $(E)$ dans ${\mathbb{Z}}^2$.
   c) En déduire les solutions dans $\mathbb{Z}$ du système $\{\begin{array}{l}x\equiv 3[5]\\ x\equiv 2[4]\end{array}$

2. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $a=4n+3$ et $b=3n+1$.
   a) Montrer que $a\wedge b=(n+2)\wedge 5$, et en déduire les $n$ tels que $a\wedge b=5$.
   b) Déterminer, selon $n$, le reste de la division de $2^n$ par $5$.
   c) Montrer que $2^a+3^b\equiv 0[5]⟺2^{a+b}\equiv 4[5]$.
   d) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $n>20$, $2^a+3^b\equiv 0[5]$ et $a\wedge b=5$.