Petit théorème de Fermat et résolution de x^1346 ≡ 49 [2019]

Énoncé

On note $2019=3\times 673$ ($673$ est premier).

1. Soit $a\in \mathbb{Z}$ tel que $a\wedge 2019=1$.
   a) Montrer que $a\wedge 673=1$ et $a\wedge 3=1$, puis que $a^{672}\equiv 1[673]$ et $a^2\equiv 1[3]$.
   b) En déduire que $a^{672}\equiv 1[2019]$.

2. On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E):x^{1346}\equiv 49[2019]$. Soit $x$ une solution.
   a) Montrer que $x\wedge 2019=1$, puis que $x^{1344}\equiv 1[2019]$.
   b) En déduire que $x^2\equiv 49[2019]$.

3. Réciproquement, soit $x$ tel que $x^2\equiv 49[2019]$. Montrer que $x^{1346}\equiv 49[2019]$.

4. Résoudre l'équation $(E)$. (On donne $680\equiv 7[673]$ et $680\equiv -7[3]$.)