Divisibilité de 5^n − 2^n par un nombre premier

Énoncé

Soit $n$ un nombre premier.

1. Montrer que si $n$ divise $5^n-2^n$, alors $n=3$.

2. Soient $p,q$ deux nombres premiers tels que $3<q<p$ et $pq$ divise $(5^p-2^p)(5^q-2^q)$.
   a) Montrer que $q$ divise $5^p-2^p$.
   b) Soit $a$ un entier tel que $2a\equiv 5[q]$. Montrer que $q\nmid a$, que $a^p\equiv 1[q]$ et $a^{q-1}\equiv 1[q]$.
   c) En déduire que $a\equiv 1[q]$ (on remarquera que $p\wedge (q-1)=1$), puis aboutir à une contradiction.

3. En déduire que si $p,q$ sont deux nombres premiers avec $q<p$ et $pq\mid (5^p-2^p)(5^q-2^q)$, alors $(p,q)=(13;3)$.