Énoncé Soit p un nombre premier tel que p ≥ 7 . a) Vérifier que 2 p − 1 est un entier et que 2 < 2 p − 1 < p − 1 . b) En déduire que ( p − 1 ) 2 divise ( p − 1 )! . On suppose qu'il existe n ∈ N ∗ tel que ( p − 1 )! = p n − 1 , et on pose S = k = 0 ∑ n − 1 p k . a) Montrer que S ≡ n [ p − 1 ] . b) Montrer que ( p − 1 ) ∣ S , et en déduire que ( p − 1 ) ∣ n . c) En déduire que n ≥ p − 1 , puis aboutir à une contradiction. Déterminer tous les nombres premiers p pour lesquels il existe n ∈ N ∗ tel que ( p − 1 )! = p n − 1 .

Factorielle, p^n − 1 et nombres premiers

Difficile

Soit $p$ un nombre premier tel que $p \geq 7$ .

a) Vérifier que $\frac{p - 1}{2}$ est un entier et que $2 < \frac{p - 1}{2} < p - 1$ .
b) En déduire que $(p - 1)^{2}$ divise $(p - 1)!$ .
On suppose qu'il existe $n \in N^{*}$ tel que $(p - 1)! = p^{n} - 1$ , et on pose $S = k = 0 \sum n - 1 p^{k}$ .
a) Montrer que $S \equiv n [p - 1]$ .
b) Montrer que $(p - 1) ∣ S$ , et en déduire que $(p - 1) ∣ n$ .
c) En déduire que $n \geq p - 1$ , puis aboutir à une contradiction.
Déterminer tous les nombres premiers $p$ pour lesquels il existe $n \in N^{*}$ tel que $(p - 1)! = p^{n} - 1$ .

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1 Indice 1

Pour 1, utilisez que $p$ est premier impair pour justifier que $\\frac{p-1}{2}$ est entier, puis comparez-le a 2 et a $p-1$.

2 Indice 2

Pour 1.b), remarquez que $2$, $\\frac{p-1}{2}$ et $p-1$ sont trois facteurs distincts de $(p-1)!$ dont le produit vaut $(p-1)^2$.

3 Indice 3

Pour 2, utilisez que $p\\equiv 1\\ [p-1]$ pour reduire $S$ modulo $p-1$, puis combinez avec $(p-1)^2\\mid (p-1)!=(p-1)S$.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour 1, utilisez que $p$ est premier impair pour justifier que $f r a c p - 1 2$ est entier, puis comparez-le a 2 et a $p - 1$ .

Pour 1.b), remarquez que $2$ , $f r a c p - 1 2$ et $p - 1$ sont trois facteurs distincts de $(p - 1)!$ dont le produit vaut $(p - 1)^{2}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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