Équation 3x² + 3x + 7 = y³ sans solution

Énoncé

On considère dans ${\mathbb{Z}}^2$ l'équation $(E):3x^2+3x+7=y^3$.

1. Montrer que l'équation ${\bar{x}}^2+\bar{x}+\bar{2}=\bar{0}$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

2. Soit $(a,b)$ une solution de $(E)$. Montrer qu'il existe un entier $k$ tel que $b=3k+1$, et que $a^2+a+2\equiv 0[3]$.

3. Résoudre $(E)$ dans ${\mathbb{Z}}^2$.