Équation 4x² − 9y² = 432 par réduction

Intermédiaire
Partager

Énoncé

Énoncé

On considère dans l'équation .

  1. a) Montrer que si est solution de , alors et .
    b) Montrer que si est solution de , alors est solution de .

  2. a) Résoudre dans l'équation .
    b) En déduire toutes les solutions de .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la question 1.a), isole $4x^2$ d'un côté de l'équation pour faire apparaître un multiple de $3$, puis utilise le lemme de Gauss car $3$ et $4$ sont premiers entre eux.
2 Indice 2
Pour montrer que $3 \mid x$, écris $4x^2 = 9y^2 + 432 = 3(3y^2 + 144)$. Puisque $3 \mid 4x^2$ et que $\text{pgcd}(3,4) = 1$, le lemme de Gauss te permet de conclure que $3 \mid x^2$, donc $3 \mid x$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour la question 1.a), isole d'un côté de l'équation pour faire apparaître un multiple de , puis utilise le lemme de Gauss car et sont premiers entre eux.

Pour montrer que , écris . Puisque et que , le lemme de Gauss te permet de conclure que , donc .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Équations diophantiennes et système de congruences Tous les exercices du chapitre PGCD avec 2n+1 et caractérisation par congruence