Énoncé Soit dans Z 2 l'équation ( E ) : 4 x 2 − 9 y 2 = 432 . Montrer que si ( x , y ) est solution de ( E ) alors 3 ∣ x et 2 ∣ y . Résoudre d'abord X 2 − Y 2 = 12 dans Z 2 , puis en déduire les solutions de ( E ) .

Équation $4x^2-9y^2=432$ par factorisation

Difficile

Soit dans $Z^{2}$ l'équation $(E) : 4 x^{2} - 9 y^{2} = 432$ .

Montrer que si $(x, y)$ est solution de $(E)$ alors $3 ∣ x$ et $2 ∣ y$ .
Résoudre d'abord $X^{2} - Y^{2} = 12$ dans $Z^{2}$ , puis en déduire les solutions de $(E)$ .

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1 Indice 1

Travaille modulo 3 puis modulo 2 sur l'équation $4x^2-9y^2=432$ pour montrer les divisibilités demandées.

2 Indice 2

Pose $x=3X$ et $y=2Y$ pour simplifier l'équation en $X^2-Y^2=12$, puis factorise en $(X-Y)(X+Y)=12$.

3 Indice 3

Les deux facteurs $(X-Y)$ et $(X+Y)$ ont la même parité (leur somme $2X$ est paire) ; cherche les décompositions de 12 en deux facteurs pairs.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Travaille modulo 3 puis modulo 2 sur l'équation $4 x^{2} - 9 y^{2} = 432$ pour montrer les divisibilités demandées.

Pose $x = 3 X$ et $y = 2 Y$ pour simplifier l'équation en $X^{2} - Y^{2} = 12$ , puis factorise en $(X - Y) (X + Y) = 12$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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