Une équation sans solution via $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$

Difficile
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Énoncé

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On considère dans l'équation .

  1. Montrer que l'équation n'admet pas de solution dans .

  2. En déduire que n'admet aucune solution dans .

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, testez simplement les trois valeurs possibles $\overline{x} = \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ et calculez à chaque fois $\overline{x}^2+\overline{x}+\overline{2}$.
2 Indice 2
Pour la question 2, réduisez l'équation $(E)$ modulo $3$ : que devient $3x^2+3x$ modulo $3$ ? Et que vaut $7$ modulo $3$ ?
3 Indice 3
Il vous faudra ensuite déterminer les cubes possibles modulo $3$, en déduire une contrainte sur $y$, puis pousser le raisonnement modulo $9$ pour faire apparaître exactement l'expression étudiée en question 1.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, testez simplement les trois valeurs possibles dans et calculez à chaque fois .

Pour la question 2, réduisez l'équation modulo : que devient modulo ? Et que vaut modulo ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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