Équation de Bézout et résolution dans Z

Facile
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Équation diophantienne linéaire

On considère dans l'équation .

  1. Vérifier que le couple est une solution de , puis résoudre dans .
  2. En déduire l'entier , inverse de modulo , vérifiant .

Indices

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1 Indice 1
Pour vérifier que $(-12,-5)$ est solution, remplace simplement $x$ par $-12$ et $y$ par $-5$ dans l'équation $27x-65y=1$ et calcule. Pour résoudre complètement, soustrais cette solution particulière de toute solution générale $(x,y)$.
2 Indice 2
Après avoir soustrait, tu obtiens $27(x+12)=65(y+5)$. Puisque $27$ et $65$ sont premiers entre eux, utilise le théorème de Gauss : $65$ doit diviser $(x+12)$. Pose alors $x+12=65k$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

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La méthode — par où commencer

Pour vérifier que est solution, remplace simplement par et par dans l'équation et calcule. Pour résoudre complètement, soustrais cette solution particulière de toute solution générale .

Après avoir soustrait, tu obtiens . Puisque et sont premiers entre eux, utilise le théorème de Gauss : doit diviser . Pose alors avec .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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