Résolution d'une congruence x^35 ≡ 2 modulo 97

Montrer que les solutions dans ${\mathbb{Z}}^2$ de l'équation $(E):35u-96v=1$ sont les couples $(96k+11,35k+4)$, $k\in \mathbb{Z}$.

On considère dans $\mathbb{N}$ l'équation $(F):x^{35}\equiv 2[97]$.

1. Soit $x$ une solution de $(F)$. Montrer que $97$ est premier et que $x\wedge 97=1$, puis en déduire que $x^{96}\equiv 1[97]$.

2. Montrer que $x\equiv 2^{11}[97]$.

3. Réciproquement, montrer que si $x\equiv 2^{11}[97]$ alors $x$ est solution de $(F)$.

4. En déduire que les solutions de $(F)$ sont les entiers de la forme $11+97k$, $k\in \mathbb{N}$.