Pour tout n ∈ N ∗ , soit u n = n fois 44 … 4 (le chiffre 4 répété n fois). Vérifier que 9 u n = 4 ( 1 0 n − 1 ) . Montrer que u n ≡ 0 [ 2012 ] ⟺ 1 0 n ≡ 1 [ 503 ] . Montrer qu'il existe k ∈ N ∗ tel que 1 0 k ≡ 1 [ 503 ] . En déduire que 2012 admet un multiple dont l'écriture décimale n'utilise que le chiffre 4 .

Les nombres 44...4 et un multiple de 2012 n'utilisant que le chiffre 4

Difficile

Pour tout $n \in N^{*}$ , soit $u_{n} = n fois 44 \dots 4$ (le chiffre $4$ répété $n$ fois).

Vérifier que $9 u_{n} = 4 (1 0^{n} - 1)$ .
Montrer que $u_{n} \equiv 0 [2012] ⟺ 1 0^{n} \equiv 1 [503]$ .
Montrer qu'il existe $k \in N^{*}$ tel que $1 0^{k} \equiv 1 [503]$ .
En déduire que $2012$ admet un multiple dont l'écriture décimale n'utilise que le chiffre $4$ .

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1 Indice 1

Exprimez $u_n$ comme $4$ fois un nombre composé uniquement de 1, puis reliez ce dernier à $\dfrac{10^n-1}{9}$.

2 Indice 2

Décomposez $2012=4\times 503$ et utilisez que $503$ est premier pour simplifier la condition de divisibilité.

3 Indice 3

Appliquez le petit théorème de Fermat à $10$ modulo $503$ pour trouver un exposant $k$ qui convient.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Exprimez $u_{n}$ comme $4$ fois un nombre composé uniquement de 1, puis reliez ce dernier à $\frac{1 0 ^{n} - 1}{9}$ .

Décomposez $2012 = 4 \times 503$ et utilisez que $503$ est premier pour simplifier la condition de divisibilité.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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