Le répunit à 2010 chiffres et ses diviseurs premiers

Difficile
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Énoncé

Soit l'entier naturel dont l'écriture décimale est (2010 chiffres égaux à ).

  1. Montrer que est divisible par .

  2. a) Vérifier que est premier et que .

    b) Montrer que divise .

    c) En déduire que divise .

  3. Montrer que est divisible par .

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, groupe les chiffres de $N$ deux par deux, ou utilise $10\equiv -1\pmod{11}$ et une somme alternée.
2 Indice 2
Pour la question 2, écris $N$ comme une somme géométrique pour retrouver $9N=10^{2010}-1$, puis applique le petit théorème de Fermat avec le nombre premier $2011$.
3 Indice 3
Pour conclure, utilise le théorème de Gauss (2011 premier avec 9) pour passer de $2011\mid 9N$ à $2011\mid N$, puis combine avec la question 1 en remarquant que $22121=11\times 2011$.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, groupe les chiffres de deux par deux, ou utilise et une somme alternée.

Pour la question 2, écris comme une somme géométrique pour retrouver , puis applique le petit théorème de Fermat avec le nombre premier .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Les nombres 33...31 et la divisibilité par 31 Tous les exercices du chapitre Les nombres 44...4 et un multiple de 2012 n'utilisant que le chiffre 4