Une congruence renforcée et la caractérisation de la primalité par (p−1)!

Pour la 1, utilise le petit théorème de Fermat sous la forme $x^p \equiv x\ [p]$ pour montrer que $a \equiv b\ [p]$.

Factorise $a^p - b^p = (a-b)\sum_{k=0}^{p-1} a^{p-1-k}b^k$ et montre que la somme est divisible par $p$.

Pour la 2, montre les deux sens séparément : si $p$ est premier, aucun facteur de $(p-1)!$ n'est multiple de $p$ ; réciproquement, raisonne par l'absurde en supposant $p$ non premier.