Pour tout n ∈ N ∗ , on pose a n = 2 n + 3 n + 6 n − 1 . a) Vérifier que a n est pair pour tout n ∈ N ∗ . b) Déterminer les valeurs de n pour lesquelles a n ≡ 0 [ 3 ] . Soit p un nombre premier tel que p > 3 . Montrer que 2 p − 1 ≡ 1 [ p ] , 3 p − 1 ≡ 1 [ p ] et 6 p − 1 ≡ 1 [ p ] . Montrer que p divise a p − 2 . Montrer que pour tout nombre premier q , il existe un entier n ⩾ 1 tel que a n ∧ q = q .

La suite 2^n + 3^n + 6^n − 1 et les nombres premiers

Difficile

Pour tout $n \in N^{*}$ , on pose $a_{n} = 2^{n} + 3^{n} + 6^{n} - 1$ .

a) Vérifier que $a_{n}$ est pair pour tout $n \in N^{*}$ .
b) Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $a_{n} \equiv 0 [3]$ .
Soit $p$ un nombre premier tel que $p > 3$ .
1. Montrer que $2^{p - 1} \equiv 1 [p]$ , $3^{p - 1} \equiv 1 [p]$ et $6^{p - 1} \equiv 1 [p]$ .
2. Montrer que $p$ divise $a_{p - 2}$ .
Montrer que pour tout nombre premier $q$ , il existe un entier $n ⩾ 1$ tel que $a_{n} \land q = q$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour 1.a) et 1.b), reduisez chaque terme modulo 2 puis modulo 3 en remarquant que $6^n\\equiv 0$ et en utilisant $2\\equiv -1\\ [3]$.

2 Indice 2

Pour 2.a), appliquez le petit theoreme de Fermat a $2$, $3$ et $6$ sachant que $p$ ne divise aucun d'eux.

3 Indice 3

Pour 2.b), multipliez $a_{p-2}$ par $6$ et utilisez les congruences de la question 2.a), puis le theoreme de Gauss (car $6\\wedge p=1$).

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour 1.a) et 1.b), reduisez chaque terme modulo 2 puis modulo 3 en remarquant que $6^{n} e q u i v 0$ et en utilisant $2 e q u i v - 1 [3]$ .

Pour 2.a), appliquez le petit theoreme de Fermat a $2$ , $3$ et $6$ sachant que $p$ ne divise aucun d'eux.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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