Pour tout n ∈ N ∗ , on pose a n = n fois 33 … 3 1 (le chiffre 3 répété n fois, suivi du chiffre 1 ). Vérifier que a 1 et a 2 sont premiers. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : 3 a n + 7 = 1 0 n + 1 . Montrer que pour tout k ∈ N ∗ : 1 0 30 k + 2 ≡ 7 [ 31 ] . Montrer que pour tout k ∈ N ∗ : 3 a 30 k + 1 ≡ 0 [ 31 ] , puis en déduire que 31 divise a 30 k + 1 .

Les nombres 33...31 et la divisibilité par 31

Difficile

Pour tout $n \in N^{*}$ , on pose $a_{n} = n fois 33 \dots 3 1$ (le chiffre $3$ répété $n$ fois, suivi du chiffre $1$ ).

Vérifier que $a_{1}$ et $a_{2}$ sont premiers.
Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $3 a_{n} + 7 = 1 0^{n + 1}$ .
Montrer que pour tout $k \in N^{*}$ : $1 0^{30 k + 2} \equiv 7 [31]$ .
Montrer que pour tout $k \in N^{*}$ : $3 a_{30 k + 1} \equiv 0 [31]$ , puis en déduire que $31$ divise $a_{30 k + 1}$ .

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1 Indice 1

Pour la primalite, teste la division par les premiers inferieurs a la racine carree.

2 Indice 2

Pour la relation, calcule $3a_n$ puis ajoute $7$ pour reconnaitre une puissance de $10$.

3 Indice 3

Utilise le petit theoreme de Fermat : $10^{30}\equiv 1\ [31]$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la primalite, teste la division par les premiers inferieurs a la racine carree.

Pour la relation, calcule $3 a_{n}$ puis ajoute $7$ pour reconnaitre une puissance de $10$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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