Soit n un entier naturel. a) Montrer que si n est impair, alors n 2 ≡ 1 [ 8 ] . b) Montrer que si n est pair, alors n 2 ≡ 0 [ 8 ] ou n 2 ≡ 4 [ 8 ] . Soient a , b , c trois entiers naturels impairs. Montrer que a 2 + b 2 + c 2 n'est pas un carré parfait. Montrer que 2 ( ab + b c + a c ) ≡ 6 [ 8 ] . En déduire que 2 ( ab + b c + a c ) n'est pas un carré parfait. Montrer que ab + b c + a c n'est pas un carré parfait.

Carrés parfaits modulo 8 avec trois entiers impairs

Intermédiaire

Énoncé

Soit $n$ un entier naturel.

a) Montrer que si $n$ est impair, alors $n^{2} \equiv 1 [8]$ .
b) Montrer que si $n$ est pair, alors $n^{2} \equiv 0 [8]$ ou $n^{2} \equiv 4 [8]$ .
Soient $a, b, c$ trois entiers naturels impairs.
1. Montrer que $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ n'est pas un carré parfait.
2. Montrer que $2 (ab + b c + a c) \equiv 6 [8]$ .
3. En déduire que $2 (ab + b c + a c)$ n'est pas un carré parfait.
4. Montrer que $ab + b c + a c$ n'est pas un carré parfait.

Indices

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1 Indice 1

Pour la question a), écris $n$ sous la forme $n=2m+1$ puisqu'il est impair, puis développe $n^2$. Tu verras apparaître un facteur $4m(m+1)$ : réfléchis pourquoi le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

2 Indice 2

Pour montrer que $a^2+b^2+c^2$ n'est pas un carré parfait, suppose par l'absurde que $a^2+b^2+c^2=n^2$ et utilise les congruences modulo $8$ trouvées en question 1 : combien vaut $a^2+b^2+c^2\pmod{8}$ ? Et $n^2\pmod{8}$ ?

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Pour la question a), écris $n$ sous la forme $n = 2 m + 1$ puisqu'il est impair, puis développe $n^{2}$ . Tu verras apparaître un facteur $4 m (m + 1)$ : réfléchis pourquoi le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

Pour montrer que $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ n'est pas un carré parfait, suppose par l'absurde que $a^{2} + b^{2} + c^{2} = n^{2}$ et utilise les congruences modulo $8$ trouvées en question 1 : combien vaut $a^{2} + b^{2} + c^{2} (mod 8)$ ? Et $n^{2} (mod 8)$ ?

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Carrés parfaits modulo 8 avec trois entiers impairs

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