Carrés parfaits modulo 8 Soit n un entier naturel. Montrer que si n est impair, alors n 2 ≡ 1 [ 8 ] , et que si n est pair, alors n 2 ≡ 0 [ 8 ] ou n 2 ≡ 4 [ 8 ] . Soient a , b , c trois entiers naturels impairs. Montrer que a 2 + b 2 + c 2 n'est pas un carré parfait. Montrer que 2 ( ab + b c + a c ) ≡ 6 [ 8 ] (on pourra utiliser ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + b c + a c ) ). En déduire que ab + b c + a c n'est pas un carré parfait.

Carrés parfaits et somme de produits modulo 8

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Carrés parfaits modulo 8

Soit $n$ un entier naturel.

Montrer que si $n$ est impair, alors $n^{2} \equiv 1 [8]$ , et que si $n$ est pair, alors $n^{2} \equiv 0 [8]$ ou $n^{2} \equiv 4 [8]$ .
Soient $a, b, c$ trois entiers naturels impairs.
1. Montrer que $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ n'est pas un carré parfait.
2. Montrer que $2 (ab + b c + a c) \equiv 6 [8]$ (on pourra utiliser $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (ab + b c + a c)$ ).
3. En déduire que $ab + b c + a c$ n'est pas un carré parfait.

Indices

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1 Indice 1

Pour la première partie, écris $n$ impair sous la forme $n=2m+1$, puis développe $n^2$ et montre que $m(m+1)$ est toujours pair. Pour $n$ pair, distingue si $n=2m$ avec $m$ pair ou impair.

2 Indice 2

Pour montrer que $a^2+b^2+c^2$ n'est pas un carré parfait, calcule d'abord sa valeur modulo $8$ en utilisant que $a$, $b$ et $c$ sont impairs, puis compare avec les valeurs possibles $\{0,1,4\}$ pour un carré parfait.

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Pour la première partie, écris $n$ impair sous la forme $n = 2 m + 1$ , puis développe $n^{2}$ et montre que $m (m + 1)$ est toujours pair. Pour $n$ pair, distingue si $n = 2 m$ avec $m$ pair ou impair.

Pour montrer que $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ n'est pas un carré parfait, calcule d'abord sa valeur modulo $8$ en utilisant que $a$ , $b$ et $c$ sont impairs, puis compare avec les valeurs possibles ${0, 1, 4}$ pour un carré parfait.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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