Divisibilité par $173$ et équation $x^3+y^3=173(xy+1)$

Partie I

Soient $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que $173$ divise $a^3+b^3$ (on admet que $173$ est premier).

1. Montrer que $a^{171}\equiv -b^{171}[173]$ (remarquer que $171=3\times 57$).

2. Montrer que $173\mid a⟺173\mid b$.

3. On suppose que $173\mid a$. Montrer que $173\mid a+b$.

4. On suppose que $173\nmid a$.

   a) Montrer que $a^{172}\equiv b^{172}[173]$ (théorème de Fermat).

   b) En déduire que $a^{171}(a+b)\equiv 0[173]$.

   c) En déduire que $173\mid a+b$.

Partie II

On considère dans ${\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$ l'équation $(E):x^3+y^3=173(xy+1)$. Soit $(x,y)$ une solution de $(E)$.

1. Montrer que $173$ divise $x+y$ (on pose alors $x+y=173k$, $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

2. Vérifier que $k(x-y{)}^2+(k-1)xy=1$.

3. Montrer que $k=1$ et résoudre l'équation $(E)$.